Question

对于正整数k，用g（k）表示k的最大奇因数，如：g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，…．记a_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n是正整数．
（I）写出a₁，a₂，a₃，并归纳猜想a_n与a_n-1（n≥2，n∈N）的关系式；
（II）证明（I）的结论；
（Ⅲ）求a_n的表达式．

Answer

（I）a1=g（1）+g（2）=2，a2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6，a3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+
g（7）+g（8）=a2+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+42=22．猜想n≥2时，an=an-1+4n-1．
（II）若k为奇数，则g（k）=k；若k为偶数，则g（k）=．若为奇数，则；若为偶数，则可重复上述步骤得到g（k）．由此可知：an=4n-1+an-1．当n≥2时，an=an-1+4n-1成立．
（Ⅲ）当n≥2时，an-an-1=4n-1，故有an=（an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a2-a1）+a1=4n-1+4n-2+…+4+2=，由此能求出{an}的表达式．
【解析】
（I）a1=g（1）+g（2）=2，
a2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6．
a3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=a2+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+42=22
猜想n≥2时，an=an-1+4n-1．

（II）证明：若k为奇数，则g（k）=k；
若k为偶数，则g（k）=．若为奇数，则；
反之，若为偶数，则可重复上述步骤得到g（k）
由此可知：n≥2时，
an=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n）
=1+3+5+…（2n-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2n）
=1+3+5+…+（2n-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2n）
=+g（1）+g（2）+…g（2n-1）
=4n-1+an-1．
即当n≥2时，an=an-1+4n-1成立
（Ⅲ）由（I）知，当n≥2时，an-an-1=4n-1，故有an=（an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a2-a1）+a1=4n-1+4n-2+…+4+2=，
a1也满足此式．
故（n∈N，且n≥1）