Question

已知函数，a∈R．
（1）求f（x）的极值；
（2）若关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）证明：．

Answer

（1）先求函数的定义域，在函数定义域内连续可导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）要使不等式在（0，+∞）恒成立，只需求函数在（0，+∞）的最大值，建立参数k的等量关系，解之即可．
（3）先由（1）知，lnx-x+1≤0，从而有lnn2≤n2-1，再进行求和，利用放缩法，然后用立项求和的方法进行求和即可得证．
【解析】
（1），令f'（x）=0，得x=ea，当x∈（0，ea）时，f'（x）＞0
函数f（x）为增函数，当x∈（ea，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，
故f（x）有极大值为f（ea）=e-a，（5分）
（2）由（1）知，令a=1，
则，
故只需，所以得-1＜k≤1（10分）
（3）由（1）知f（x）≤e-a，令a=0，则有lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2∴lnn2≤n2-1，
∴，
故
=
==（14分）