Question

已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f （x）=，又a是函数g （x）=的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大上关系是（ ）
A．f（1.5）＜f（a）＜f（-2）
B．f（-2）＜f（1.5）＜f（a）
C．f（a）＜f（1.5）＜f（-2）
D．f（1.5）＜f（-2）＜f（a）

Answer

本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题．在解答时可先结合零点定理获得a与1.5和2的关系：1.5＜a＜2，然后利用求导获得函数f（x）的单调性，再有单调性即可获得问题的解答．
【解析】
当a＞0时，易知g（x）为增函数，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-＜lne-1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，再由单调性结合题意可知a就为这个零点，因此有1.5＜a＜2．又当x≥0时，直接求导即得，于是当x＞1时，我们有f'（x）＞2ln2-1=ln22-1＞lne-1=0，由此可见f（x）在（1，+∞）上单调增，可见必有f（1.5）＜f（a）＜f（2），而又由于f（x）为偶函数，所以f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故选A．