设椭圆的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），右准线l交x轴于点A，且． ...

设椭圆

的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且 manfen5.com 满分网

．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

（Ⅰ）由焦点坐标可求得c，进而根据求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．（Ⅱ）先看当直线DE和直线MN与x轴垂直时，可求得四边形DMEN的面积；进而看直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE的直线方程与椭圆方程联立消去y，设D（x1，y1），E（x2，y2），进而利用韦达定理可得x1x2和x1+x2，进而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|进而可表示出四边形的面积，进而根据均值不等式求得四边形的面积的范围，则最大值和最小值可得．【解析】（Ⅰ）由题意，，∴A（a2，0）， ∵∴F2为AF1的中点 ∴a2=3，b2=2 即椭圆方程为．（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=，此时，四边形DMEN的面积为．同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为．当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．设D（x1，y1），E（x2，y2），则所以，，所以，，同理，|MN|=．所以，四边形的面积S===，令，得因为，当k=±1时，，且S是以u为自变量的增函数，所以．综上可知，．即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．

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考点分析：

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