Question

设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）平移直线x-y+3=0当它与函数y=f（x）图象相切时，切点即为函数y=f（x）图象上到直线x-y+3=0距离最小的点，此时切线的斜率等于函数y=f（x）在切点处的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立，我们可以构造函数F（x）=f（x）-g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）≤0恒成立⇔F（x）的最大值≤0进行求解．
【解析】
（1）由f（x）=-x+lnx，得，令f'（x）=1，得
∴所求距离的最小值即为到直线x-y+3=0的距离

（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），则F（x）max≤0
由得∵时，F′（x）＜0，
∴F（x）为减函数；
当时，F′（x）＞0，
∴F（x）为增函数
∴
∴即a≥1
所以a的取值范围是[1，+∞）