Question

函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer

（1）先由奇偶性寻求f（-x）与f（x）的关系，再设x＜0，则-x＞0，按照求函数值求解；
（2）用导数判断单调性，确定单调区间求得值域．
【解析】
（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（-x）=f（x）（1分）
设x＜0，则-x＞0，f（-x）=
∴（3分）
∴（4分）
（2）当x＞0时，，（6分）
令f'（x）=0⇒x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，（8分）
且函数f（x）在此区间上有极小值y极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（-2，0），减区间为（-∞，-2）（10分）
综上所述，f（x）在区间（-∞，-2）和（0，2）上是减函数
在区间（-2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）（12分）