Question

设a、b是不共线的两个非零向量，
（1）若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A、B、C三点共线．
（2）若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；
（3）设=ma，=nb，=α a+β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，
求证：+=1．

Answer

（1）要证三点共线，先构造以这三点为起点和终点的向量，让所给的三个向量两两相减，得到关于A、B、C的向量，加以验证即可．
（2）两个向量共线，则其中一个可以写成另一个的实数倍，根据系数相等，构成方程，解方程即可．
（3）这一问恰好和第一问相反，但是解题的原理是一样的，从三点共线入手，得到系数之间的关系，根据α、β和其他几个量之间的关系，得到结论．
【解析】
（1）证明：∵=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
而=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2，
∴与共线，且有公共端点B，
∴A、B、C三点共线．
（2）∵8a+kb与ka+2b共线，∴存在实数λ，使得（8a+kb）=λ（ka+2b）⇒（8-λk）a+（k-2λ）b=0，
∵a与b不共线，∴k=2λ=±4．
（3）证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得，
∴=a+b．
∵a、b不共线，∴
∴+=+=1．