Question

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n．

Answer

（1）分别令n=2，3，4，5，由题设条件能够得到a1，a2，a3，a4，a5，a6的值，从而能够求出S6．
（2）由条件得，an+3=-an，由此知an+6=-an+3=an．
（3）由题设条件能够知a1=a，a2=b，a3=b-a，a4=-a，a5=-b，a6=a-b．S6=0．再由S6n+k=Sk，n∈N*，能够导出数列前n项和Sn．
【解析】
（1）a1=1，a2=-2，a3=-3，a4=-1，a5=2，a6=3，
∴S6=0．（4分）
（2）由条件得，
∴an+3=-an，（6分）∴an+6=-an+3=an，即an+6=an．（8分）
（3）a1=a，a2=b，a3=b-a，a4=-a，a5=-b，a6=a-b．
∴S6=0．（10分）
由（2）得S6n+k=Sk，n∈N*，k=1，，6．（12分）
∴，k∈N*（14分）