Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱BB₁上运动（不含B，B₁两点），求△APC₁的面积S的最小值．

Answer

建立空间直角坐标系后，设PB1=t，在AC1上任取一点Q，要使△APC1的面积S最小，必有与，
求点P，Q的坐标后，即可求出三角形高的最小值，由此可求S的最小值．
【解析】
以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴建立空间直角坐标系，
设PB1=t（0＜t＜1），则A（1，0，1），C1（0，1，0），P（1，1，t），在AC1上任取一点Q（a，b，c），
由，得（a-1，b，c-1）=λ（-1，1，-1），
∴a=1-λ，b=λ，c=1-λ，
令x=1-λ，有Q（x，1-x，x），又，，，
当△APC1的面积S的最小时，最小，必有，，
得，∴，
解得，这时=，即，又．
∴△APC1的面积，即△APC1的面积S的最小值为．