Question

已知函数f（x）=2ax-，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer

（1）已知f（x）在（0，1]上为增函数，所以f′（x）＞0，x∈（0，1]，解出a＞-1，需考虑a=-1的情形．
（2）由（1）得当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，当a＜-1时，利用导数研究函数的单调性求解函数的最值．
【解析】
（1）由已知可得f′（x）=2a+，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0，即a＞-，x∈（0，1]．∴a＞-1．
当a=-1时，f′（x）=-2+对x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
满足f（x）在（0，1]上为增函数，∴a≥-1．
（2）由（1）知，当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，
∴[f（x）]max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x=，
∵0＜＜1，∴0＜x＜时，
f′（x）＞0；＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，）上是增函数，
在（，1]减函数．
∴[f（x）]max=f（）=-3．