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设函数f(x)=ex-1-x-ax2. (1)若a=0,求f(x)的单调区间; ...

设函数f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
(1)先对函数f(x)求导,导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减. (2)根据ex≥1+x可得不等式f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而可知当1-2a≥0,即时,f′(x)≥0判断出函数f(x)的单调性,得到答案. 【解析】 (1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1. 当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0. 故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加 (II)f′(x)=ex-1-2ax 由(I)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x, 从而当1-2a≥0,即时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0, 于是当x≥0时,f(x)≥0. 由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0). 从而当时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a), 故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0. 综合得a的取值范围为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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