Question

已知关于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一条双曲线和一条抛物线的离心率，则的取值范围为    ．

Answer

依题意可知方程有一个根是1，进而可设x3+ax2+bx+c=0=（x-1）（x2+mx+n）根据多项式恒等的充要条件，的方程组，联立后可求得m和n，进而可构造函数f（x）=x2+mx+n，则可知f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率，根据判别式大于0，令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），则可知的几何意义是直线的斜率，进而可求得范围．
【解析】
依题意，关于x的方程 x3+ax2+bx+c=0有一个根是1
所以可设x3+ax2+bx+c=0=（x-1）（x2+mx+n）
根据多项式恒等的充要条件，得
m-1=a①
n-m=b②
n+c=0③
取①②两式联立得
m=a+1，n=a+b+1
构造函数 f（x）=x2+mx+n 即 f（x）=x2+（a+1）x+（a+b+1）
依题意f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率
故 0＜x1＜1＜x2
根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：
判别式=（a+1）2-4（a+b+1）=（a-1）2-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，
设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），k=
则k的几何意义是直线PA的斜率．
作图，得-2＜k＜0
故答案为（-2，0）