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对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一...

对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2
③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.
其中真命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
首先分析题目任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|, 对于①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x,y)然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立.成立故正确. 对于②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;是几何距离而非题目定义的距离,明显不成立, 对于③在△ABC中,用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于||AB||.成立,故可得到答案. 【解析】 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|. 对于①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x,y),x在x1、x2之间,y在y1、y2之间, 则||AC||+||CB||=|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.成立故正确. 对于②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;是几何距离而非题目定义的距离,明显不成立, 对于③在△ABC中,||AC||+||CB||=|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y|≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.③不正确. ∴命题①成立, 故选B.
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考点分析:
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