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设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式tSn-(t+1)Sn-1=...

设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式tSn-(t+1)Sn-1=t(t>0,n∈N*,n≥2).
(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,manfen5.com 满分网(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)数列{bn}满足条件(Ⅱ),求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
(Ⅰ)利用an=Sn-tSn-1,求得数列{an}的递推式,整理得,进而可推断出n≥3时,数列成等比数列,然后分别求得a1和a2,验证亦符合,进而可推断出{an}是一个首项为1,公比为的等比数列. (Ⅱ)把f(t)的解析式代入bn,进而可知bn=1+bn-1,判断出{bn}是一个首项为1,公差为1的等差数列.进而根据等差数列的通项公式求得答案. (Ⅲ){bn}是等差数列.进而可推断出{b2n-1}和{b2n}也是首项分别为1和2,公差均为2的等差数列,进而用分组法求得数列的b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1和. 【解析】 (Ⅰ)∵tSn-(t+1)Sn-1=t,(n≥2)①tSn-1-(t+1)Sn-2=t,(n≥3)② ①-②,得tan-(t+1)an-1=0. ∴(n∈N*,n≥3). 又由t(1+a2)-(t+1)=t.得. 又∵a1=1,∴. 所以{an}是一个首项为1,公比为的等比数列. (Ⅱ)由f(t)=,得=1+bn-1(n≥2,n∈N*). ∴{bn}是一个首项为1,公差为1的等差数列. 于是bn=n. (Ⅲ)由bn=n,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和2,公差均为2的等差数列, 于是b2n=2n. ∴b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)=-2(b2+b4+…+b2n) =.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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