Question

已知函数（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂，总有不等式成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；再利用参数分离法求出a的范围．
（2）这是一道研究“凸函数”问题，本题的关键是证明出，这需要充分利用不等式的性质以及基本不等式进行放缩与转化．
【解析】
（Ⅰ）由，得．（2分）
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=，上述问题等价于a≥g（x）max．
而g（x）=为在[1，+∞）上的减函数，则．
于是为所求．（6分）
（Ⅱ）证明：由，
得
=．．
而．①
∵a≥0，∴．（9分）
又（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2，
∴．②（11分）
∵，∴．
∴．③（13分）
由①、②、③，得．
即，从而由凸函数的定义可知函数f（x）为凸函数．（14分）