Question

已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（I）求实数a的值；
（II）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求实数b的取值范围．

Answer

（I）先求出函数在（-4，-2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a表示），令其等于-4，从而求出a；
（II）由任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0，函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．
【解析】
（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，
设x∈（-4，-2），则x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵，
∴．
又由，可得，
∴f（x）在上是增函数，在上是减函数，
∴．
∴a=-1（7分）

（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx-x，，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx2-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为，
为满足A⊆B，又
∴即．（11分）
（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为，为满足A⊆B，
又，∴，
∴，
综上可知b的取值范围是（12分）