Question

已知曲线C：f（x）=3x²-1，C上的两点A，A_n的横坐标分别为2与a_n（n=1，2，3，…），a₁=4，数列{x_n}满足、设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点p_n（x_n，f（x_n）），使得点p_n处的切线与AA_n平行，
（I）建立x_n与a_n的关系式；
（II）证明：是等比数列；
（III）当D_n+1⊈D_n对一切n∈N₊恒成立时，求t的范围．

Answer

（I）因为曲线在pn处的切线与AAn平行，所以6xn=，由此可知2xn=an+2．
（Ⅱ）由题意知，所以xn+1=t（xn-1）2+1，logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]，由此可知{logt（xn-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由题设知：logt（xn-1）+1=（logt2+1）2n-1，所以，从而，由此可求出t的范围．
【解析】
（I）因为曲线在pn处的切线与AAn平行
∴6xn=⇒2xn=an+2
（Ⅱ）∵
∴，⇒xn+1=t（xn-1）2+1
从而logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1）⇒logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]
∴{logt（xn-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由（II）知：logt（xn-1）+1=（logt2+1）2n-1
∴，从而
∴an+1＜an，∴
∴