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已知函数f(x)=x2-x+alnx (1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求...

已知函数f(x)=x2-x+alnx
(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.
(1)先利用参数分离法将a分离出来,然后研究函数的最值,使参数a恒小于函数的最小值即可; (2)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,主要进行分离讨论. 【解析】 (1)由f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立 当x=1时a∈R(2分) 当x>1时即,令,(4分) x≥e时g'(x)≥0,g(x)在x>e时为增函数,g(x)在x<e时为减函数 ∴gmin(x)=e∴a≤e(6分) (2)【解析】 f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+=,x>0 (1)当△=1-8a≤0,a≥时,f′(x)≥0恒成立, f(x)在(0,+∞)上为增函数.(8分) (2)当a<时 ①当0<a<时,, f(x)在上为减函数, f(x)在上为增函数.(11分) ②当a=0时,f(x)在(0,1]上为减函数,f(x)在[1,+∞)上为增函数(12分) ③当a<0时,,故f(x)在(0,]上为减函数, f(x)在[,+∞)上为增函数.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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