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已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+...

已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数manfen5.com 满分网,求函数f(n)的最小值;
(3)设manfen5.com 满分网表示数列{bn}的前项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.
(1)把点P代入直线方程,可得an+1-an=1进而判断数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列数列{an}的通项公式可得. (2)分别表示出f(n)和f(n+1),通过f(n+1)-f(n)>0判断f(n)单调递增,故f(n)的最小值是 (3)把(1)中的an代入求得bn,进而求得最后(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=nSn-n=n(Sn-1),判断存在关于n的整式g(x)=n. 【解析】 (1)由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上, 即an+1-an=1,且a1=1,数列{an}是以1为首项, 1为公差的等差数列an=1+(n-1)•1=n(n≥2), a1=1同样满足,所以an=n (2) 所以f(n)是单调递增,故f(n)的最小值是 (3),可得, nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1, (n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1S2-S1=S1+1nSn-S1 =S1+S2+S3++Sn-1+n-1S1+S2+S3++Sn-1 =nSn-n=n(Sn-1),n≥2g(n)=n 故存在关于n的整式g(x)=n, 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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