Question

定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数在实数集R上，函数在上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为，要使在上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先根据函数f（x）的最大值和最小值可判断M的值，进而得到f（x）在R上是有界函数；对于函数g（x）进行求导，令导函数等于0求x的值，然后根据导函数的正负判断函数的单调性进而得到g（x）在[，1]上最大和最小值，然后令M=两最值绝对值较大的一个，进而可判断是有界函数．
（2）对函数S（t）进行求导得到瞬时速度，然后令瞬时速度的绝对值都小于等于13在上恒成立，然后转化为a关于t的关系式a（t），使得a大于等于a（t）的最大值或小于等于a（t）的最小值，进而得到a的范围．
【解析】
（1）∵在R上的最大值为5，最小值为-1，
存在常数M=5，对任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函数．
∵，∴，
由，得x=1或x=-1
所以g（x）在[，1]上单调递减，g（x）在[1，3]上单调递增，
∴g（x）在[，3]上的最大值为g（3）=28，最小值为g（1）=4
所以存在常数M=28，对任意都有|g（x）|≤M，∴g（x）是上是有界函数．
（2）因为运动方程为，所以瞬时速度
由当时，|V（t）|≤13恒成立，即对恒成立
即对恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以实数a的取值范围[15，17]