Question

已知曲线C_n：x²-2nx+y²=0（n=1，2，…）．从点P（-1，0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n＞0）的切线l_n，切点为P_n（x_n，y_n）．
（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式；
（2）证明：．

Answer

（1）设直线ln：y=kn（x+1），联立x2-2nx+y2=0得（1+kn2）x2+（2kn2-2n）x+kn2=0，则△=（2kn2-2n）2-4（1+kn2）kn2=0，由此可知，
（2）由题设条件知，令函数，则=0，得，再由函数f（x）在上单调递减可知．
【解析】
（1）设直线ln：y=kn（x+1），联立x2-2nx+y2=0
得（1+kn2）x2+（2kn2-2n）x+kn2=0，
则△=（2kn2-2n）2-4（1+kn2）kn2=0，
∴（舍去）
，
即，∴
（2）证明：∵
∴
由于，
可令函数，则，
令f′（x）=0，得，
给定区间，则有f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，即在恒成立，又，
则有，即．