Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A=，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D．

Answer

（Ⅰ）欲证AB⊥平面A1ACC1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面A1ACC1内两相交直线垂直，利用勾股定理可得AB⊥AC，A1A⊥AB，A1A∩AC=A，满足定理条件；
（Ⅱ）连接A1C交AC1于E，连DE，则E为A1C中点，欲证A1B∥平面AC1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1B∥平面AC1D内一直线平行，而DE∥A1B，A1B⊄平面AC1D，DE⊂平面AC1D，满足定理条件．
证明：（Ⅰ）在△ABC中，
∴AB2+AC2=BC2
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1
∴A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB
又∵A1A∩AC=A
∴AB⊥平面A1ACC1，
（Ⅱ）连接A1C交AC1于E，连DE，则E为A1C中点．
∴DE∥A1B
又∵A1B⊄平面AC1D，DE⊂平面AC1D
∴A1B∥平面AC1D