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如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1...

如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点.
(1)求证:EF∥平面ABCD;
(2)设M为线段C1C的中点,当manfen5.com 满分网的比值为多少时,DF⊥平面D1MB,
并说明理由.

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(1)要证:EF∥平面ABCD,只需证明EF∥AB,由直线与平面平行的判定定理可知EF∥平面ABCD. (2)F为线段BD1的中点,当=时,易证DF⊥BD1,再证MF⊥平面BB1D1D,就能证明FM⊥DF,即可证明DF⊥平面D1MB. 【解析】 (1)∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点, ∴EF∥AB, ∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴EF∥面ABCD. (2)当时,DF⊥平面D1MB. 证明如下:连接AC,BD. 设AC与BD交于点O、连接OF,FM.在长方体中, ∵O是BD的中点, ∴OF∥DD1且OF=DD1、而CM∥DD1且CM=DD1. ∴OF∥CM且OF=CM, ∴四边形OCMF是平行四边形. ∴FM∥OC. ∵DD1⊥平面ABCD, ∴D1D⊥OC,而OC⊥BD, ∴OC⊥平面BB1D1D, ∴OC⊥DF, ∴FM⊥DF. ∵, ∴D1D=BD. ∵F为BD1的中点, ∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F, ∴DF⊥平面BD1M.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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