Question

函数y=f（x）对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4，则（ ）
A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3
B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3
C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2
D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2

Answer

先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f（3）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-1-1=4，解出f（1）．
【解析】
设x1＞x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-1-f（x2）=f（x1-x2）-1＞1-1=0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为增函数．
又∵f（3）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-1-1=3f（1）-2，
∴f（1）=2．
故答案选  D．