Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在成等差数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由“点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．”可得Sn=2an-3n，由通项和前n项和关系可得an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3）符合等比数列的定义．
（Ⅱ）由（I）根据等比数列通项公式求解有an+3=b•2n-1=3•2n整理可得an=3•2n-3
（Ⅲ）先假设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列根据等差中项有2ap=as+ar，再用通项公式展开整理有2p-s+1=1+2r-s∵因为s、p、r∈N*且s＜p＜r所以2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
【解析】
（Ⅰ）由题意知Sn=2an-3n
∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-3（n+1）-2an+3n∴an+1=2an+3（2分）
∴an+1+3=2（an+3）
∴，又a1=S1=2a1-3a1=3
∴a1+3=6（4分）
∴数列{an+3}成以6为首项以2为公比的等比数列
（Ⅱ）由（I）得an+3=b•2n-1=3•2n
∴an=3•2n-3
（Ⅲ）设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列
∴2ap=as+ar∴2（3•2p-3）=3•2s-3+3•2r-3∴2p+1=2s+2r（9分）
即2p-s+1=1+2r-s（*）
∵s、p、r∈N*且s＜p＜r
∴2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）