Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）先利用赋值法求出f（0）的值，欲证明f（x）是奇函数，即证明f（x）+f（-x）=0，再在题中条件中令y=-x即得；
（2）利用单调性的定义证明，任取x1、x2∈R，且x1＜x2，证明即f（x1）＞f（x2），即可；
（3）利用（2）的结论得f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值为f（3）．故只要求出f（3）和f（-3）即可．
证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=f（0）．
又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
（2）任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．
由x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．
∴-f（x2-x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），
从而f（x）在R上是减函数．
（3）由于f（x）在R上是减函数，
故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
最小值为f（3）．由f（1）=-2，
得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴最大值为6，最小值为-6．