Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．

Answer

欲求证CD=DE，在直角三角形CDE中，只须证明其中一个锐角为45度即可，利用CD、CE分别为斜边AB上的高和中线可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD与∠ACD之比为3：1即可求得∠ECD的大小，从而解决问题．
证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=∠ACB
=×90°=45°，
△EDC为等腰直角三角形
∴CE=DE．