Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l₁：x=m（|m|＞1），P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

Answer

（Ⅰ）先椭圆的标准方程，根据长轴A1A2的长为4求得a，根据|MA1|：|A1F1|=2：1求得c，最后根据b=求得b．椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设P（m，y），|m|＞1，依题意可知只需求tan∠F2PF2的最大值即可．设出直线PF1和PF2的斜率可表示出tan∠F1PF2，根据y的范围进而确定tan∠F1PF2的范围，进而可求得∠F1PF2最大时点Q的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），半焦距为c，则|MA1|=-a，|A1F1|=a-c．
由题意，得∴a=2，b=，c=1．故椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设P（m，y），|m|＞1，
当y=0时，∠F1PF2=0；
当y≠0时，0＜∠F1PF2＜PF1M＜，
∴只需求tan∠F2PF2的最大值即可．
设直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，
∴tan∠F1PF2=||=≤=
当且仅当=|y|时，∠F1PF2最大，∴Q（m，±）|m|＞1．