Question

已知c为常数，s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，s_c²=[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．证明：s²≤s_c²，当且仅当c=时，取“=”．

Answer

证明sc2≥s2，可证明sc2-s2≥0．因此应用方差公式进行变形得到完全平方式即可得到大于等于0．
证明：∵=，
∴s2=[（x1-）2+…+（xn-）2]=[（x12+x22+…+xn2）-2（x1+x2+…+xn）+n]=[（x12+x22+…+xn2）-n2]，
sc2=[（x1-c）2+（x2-c）2+…+（xn-c）2]=[（x12+x22+…+xn2）-2c（x1+x2+…+xn）+nc2]，
∴sc2-s2=2-（x1+x2+…+xn）+c2
=2-2c•+c2=（-c）2≥0．
∴sc2≥s2，当且仅当=c时取“=”．