Question

已知函数f（x）=x³-2x²+x+1．
（Ⅰ）求f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出进行化简即可；
（II）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点0，2的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-4x+（12分）f（0）=1，切点坐标（0，1）（3分）
切线斜率k=f'（0）=（14分）f（x）在x=0处的切线方程为y-1=x即x-y+1=0（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得或x=（18分）
在区间[0，2]上x、f'（x）、f（x）的关系如下表
（10分）

因此f（x）在区间[0，2]上的最大值是3最小值是1．（13分）