Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）．

Answer

（1）先确定定义域为（0，+∞），求导，则由“f′（x）≥0，为增区间，f′（x）≤0，为减区间”求解．
（2）将“不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”转化为：“对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．
（3）根据导数，作出函数f（x）的大致图象．易知当x→+∞时，f（x）→0．又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，由，即得ab=ba．
【解析】
（1）定义域为（0，+∞），，令，则x=e，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．（4分）

（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴分离m得，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴；
当a＜e＜2a时，即时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴．
综上得：
当时，；
当a≥e时，；
当时，．（12分）
（3）正确，a的取值范围是1＜a＜e．（16分）
注：理由如下，考虑函数f（x）的大致图象．
当x→+∞时，f（x）→0．
又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴f（x）的图象如图所示．

∴总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
即，即ab=ba，此时1＜a＜e．