有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
考点分析：
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已知矩阵M=
，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．
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设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．
（1）求逆矩阵M
-1；
（2）求椭圆
在矩阵M
-1作用下变换得到的新曲线的方程．
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已知二项式
的展开式中各项系数的和为256．
（1）求n．
（2）求展开式中的常数项．
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已知函数
，数列{a
n}满足：a
1=a，a
n+1=f（a
n），n∈N
*．
（1）若对于n∈N
*，均有a
n+1=a
n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N
*，均有a
n+1＞a
n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b
n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b
n＜b
n+1，n∈N
*；②当a为{b
n}中的任意一项时，{a
n}中必有某一项的值为1．
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已知函数
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a
b=b
a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）．
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