Question

如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c²，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

Answer

设P的极点坐标为（ρ，θ），进而可分别）∠POM，∠NOM，OM，PM，ON，PN．根据四边形PMON的面积公式可得动点P的轨迹的极坐标方程化简后用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为即可得到答案．
【解析】
设P的极点坐标为（ρ，θ），
∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
OM=ρcos（α-θ），PM=ρsin（α-θ），
ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），
四边形PMON的面积
[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]
依题意，动点P的轨迹的极坐标方程是：
[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c2
用倍角公式化简得[sin2（α-θ）+sin2（α+θ）]=c2
用和差化积公式化简得sin2αcos2θ=c2
即．
用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为
．即．
这个方程表示双曲线由题意，
动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分．