Question

抛物线y²=2px的内接三角形有两边与抛物线x²=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x²=2qy相切．

Answer

设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），分别代入抛物线方程，依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切，由x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，可知原点O不能是所设内接三角形的顶点推断三个顶点都不能是（0，0）；故可设直线A1A2的方程，进而得A1A2方程代入抛物线方程，整理后根据判别式等于0，求得2p2q+y1y2（y1+y2）=0同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即x2≠x3，y2≠-y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0把y2=-y1-y3代入2p2q+y1y2（y1+y2）=0整理后可说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，进而可判断只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．
【解析】
不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为
A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）
因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3
其中y1≠y2，y2≠y3，y3≠y1．
依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，
要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切
因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，
所以原点O不能是所设内接三角形的顶点
即（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），
都不能是（0，0）；又因A1A2与x2=2qy相切，
所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2，y1≠-y2，
直线A1A2的方程是，
∵y22-y12=（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）．
∴A1A2方程是y=
A1A2与抛物线x2=2qy交点的横坐标满足
，
由于A1A2与抛物线x2=2qy相切，上面二次方程的判别式
△==0．
化简得2p2q+y1y2（y1+y2）=0（1）
同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即
x2≠x3，y2≠-y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0（2）
由（1）（2）两方程及y2≠0，y1≠y3，得y1+y2+y3=0．
由上式及y2≠0，得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行
今将y2=-y1-y3代入（1）式得：2p2q+y3y1（y3+y1）=0（3）
（3）式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，
即A3A1与抛物线x2=2qy相切
所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，
则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．