Question

已知数列a₁，a₂，…a_n，…和数列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用数学归纳法加以证明．

Answer

先根据an=pan-1求出an的表达式，然后代入n=1，2，3进行求出b1、b2、b3的式子，猜想然后用数学归纳法分3步进行证明．
【解析】
∵a1=p，an=pan-1，
∴an=pn．又b1=q，
b2=qa1+rb1=q（p+r），
b3=qa2+rb2=q（p2+pq+r2），
设想
用数学归纳法证明：
当n=2时，，等式成立；
设当n=k时，等式成立，即，
则bk+1=qak+rbk=，
即n=k+1时等式也成立，
所以对于一切自然数n≥2，都成立．