Question

函数f（x）=x³-6x²的定义域为[-2，t]，设f（-2）=m，f（t）=n，f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）求证：n≥m；
（Ⅱ）确定t的范围使函数f（x）在[-2，t]上是单调函数；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足；并确定这样的x的个数．

Answer

（Ⅰ）设h（t）=n-m代入求出得到h（t）≥0得证；
（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，在区间[-2，t]上讨论函数的增减性，得到函数的单调区间；
（Ⅲ）n-m=（t+2）（t-4）2，得到，f′（x）=3x2-12，我们只要证明方程3x2-12x-（t-4）2=0在（-2，t）内有解即可，设g（x）=3x2-12x-（t-4）2，得到g（-2）•g（t）=-2（t+2）2（t-4）（t-10）．讨论t的值来决定方程解的个数即可．
【解析】
（Ⅰ）设h（t）=n-m，则h（t）=t3-6t2+32=（t+2）（t-4）2≥0，所以n≥m．
（Ⅱ）f′（x）=3x2-12，令f′（x）=0，得x1=0，x2=4．
当t∈（-2，0）时，x∈[-2，t]时，f′（x）＞0，f（x）是递增函数；当t=0时，显然f（x）在[-2，0]也是递增函数．
∵x=0是f（x）的一个极值点，∴当t＞0时，函数f（x）在[-2，t]上不是单调函数．∴当t∈（-2，0]时，函数f（x）在[-2，t]上是单调函数．
（Ⅲ）由（1），知n-m=（t+2）（t-4）2，∴．
又∵f′（x）=3x2-12，我们只要证明方程3x2-12x-（t-4）2=0在（-2，t）内有解即可．
记g（x）=3x2-12x-（t-4）2，则g（-2）=36-（t-4）2=-（t+2）（t-10），g（t）=3t2-12t-（t-4）2=2（t+2）（t-4），g（-2）=36-（t-4）2＞0，g（t）=3t2-12t-（t-4）2＞0，
∴g（-2）•g（t）=-2（t+2）2（t-4）（t-10）．
①当t∈（-2，4）∪（10，+∞）时，g（-2）•g（t）=-2（t+2）2（t-4）（t-10）＜0，方程（*）在（-2，t）内有且只有一解；
②当t∈（4，10）时，g（-2）=-（t+2）（t-10）＞0，g（t）=2（t+2）（t-4）＞0，又g（2）=-12-（t-4）2＜0，∴方程（*）在（-2，2），（2，t）内分别各有一解，方程（*）在（-2，t）内两解；
③当t=4时，方程g（x）=3x2-12x=0在（-2，4）内有且只有一解x=0；
④当t=10时，方程g（x）=3x2-12x-36=3（x+2）（x-6）=0在（-2，10）内有且只有一解x=6．
综上，对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足．
当t∈（-2，4]∪[10，+∞）时，满足，x∈（-2，t）的x有且只有一个；
当t∈（4，10）时，满足，x∈（-2，t）的x恰有两个．