Question

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的零点．

Answer

（1）当x＞时，对函数f（x）求导，令导函数大于0求x的范围；当x≤时根据二次函数的图象和性质可得答案．
（2）当x＞时根据函数的单调性与极值点可求出零点；当x≤时对函数判别式进行分析可得答案．
解（1）当x＞时，f′（x）=1-=
由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
当x≤时，f（x）=x2+2x+a-1=（x+1）2+a-2，
∴f（x）在上是增函数
∴f（x）的递增区间是（-1，）和（1，+∞）．
（2）当x＞时，由（1）知f（x）在（，1）上递减，在（1，+∞）上递增且f′（1）=0．
∴f（x）有极小值f（1）=1＞0，
此时f（x）无零点．当x≤时，f（x）=x2+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
当△＜0，即a＞2时，f（x）无零点．
当△=0，即a=2时，f（x）有一个零点-1．
当△＞0，且f（）≥0时，
即∴时f（x）有两个零点：
x=或x=，即x=-1+或x=-1-
当△＞0且f（）＜0，即∴a＜-时，f（x）仅有一个零点-1-