Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．
（I）求证：PA∥平面EFG；
（II）求三棱锥P-EFG的体积．

Answer

（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；
（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P-EFG的体积．
解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．（4分）
∵F，H分别为DP，DA的中点，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，
∴PA∥平面EFG．（6分）
（II）【解析】
∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．（8分）
∵PE=PD=1，EF=CD=1，
∴．
∵GC==1，
∴（12分）