Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值时的n值．

Answer

（1）根据bn=an+1-an，进而表示出bn+1=，求得为定值，判断数列{bn}是等比数列，公比为，通过b1=a2-a1求得数列的首项，进而根据等比数列的通项公式求得数列{bn}的通项公式．
（2）把（1）求得的bn代入cn，进而可求得cn+1-cn结果为定值，且小于0可判断出数列{cn}是递减的等差数列，令cn＞0得n＜2+log215，求得数列{cn}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，进而可判断n=5时，Sn取最大值．
【解析】
（I）∵bn=an+1-an，∴bn+1=an+2-an+1，
∴
∴数列{bn}是等比数列，
∵b1=a2-a1=30∴．
（II）cn=log215+2-n，
∵cn+1-cn=-1，
∴数列{cn}是递减的等差数列，
令cn＞0得n＜2+log215，∵log215∈（3，4），
∴2+log215∈（5，6）
∴数列{cn}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，Sn取最大值．