Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足．
（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|an|的通项为an=2（-2）n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；．由此入手能够求出a2的值及数列{bn}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）因a1=2，a2=2-2，故，

由此有a1=2（-2）0，a2=2（-2）2，a3=2（-2）2，a4=2（-2）3，、
故猜想|an|的通项为an=2（-2）n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．
由题设知x1=1且；①
．②
因②式对n=2成立，有．③
下用反证法证明：．
由①得．
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．
故．④
又由①知，
因此是是首项为，公比为-2的等比数列，
所以．⑤
由④-⑤得．⑥
对n求和得．⑦
由题设知．
．
即不等式22k+1＜
对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．
将x2=代入⑦式得
Sn=2-（n∈N*），
所以bn=2Sn=22-（n∈N*）