Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）设，当三角形OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．

Answer

（1）根据抛物线方程可得焦点F的坐标，设出直线的方程与抛物线方程联立消去x，设A，B的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）根据韦达定理可求得y1y2进而求得x1x2的值进而可得答案．
（2）由可知所以（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），与抛物线方程联立整理得x1=λ2x2，进而求得y2和x2，代入三角形面积公式，进而根据面积的范围求得λ的范围．
【解析】
（1）根据抛物线方程y2=4x可得F（1，0）
设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x得y2-4my-4=0
设A，B的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
则y1y2=-4
因为
故
（2）【解析】
因为，
所以（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2）
即
又y12=4x1③y22=4x2④
由②、③、④消去y1，y2后得，x1=λ2x2
将其代入①，注意到λ＞0，解得
从而可得
故三角形OAB的面积
因为恒成立，所以只要解即可，
解得．