Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，证明：{S_n}∈W
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围；
（3）设数列{c_n}的各项均为正整数，且{c_n}∈W，证明：c_n＜c_n+1．

Answer

（1）在等差数列中，利用已知a3=4，S3=18求出首项a1=8、公差d=-2，进一步求出Sn，要证明{Sn}∈W，只要证明，然后求出M使得Sn≤M②
（2）利用定义先判断bn+1′-bn的正负以判断数列bn的单调性，从而求出数列{bn}中的最大值为b3=7，若{bn∈W∈W，则M≥7
（3）假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立，因为数列{Cn}各项均为正整数，所以Ck-Ck+1≥1，又因为{Cn}∈W，则可得，即递推得到矛盾，所以说明假设错误，从而肯定结论成立．
（1）【解析】
设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=-2，
所以Sn=na1+d=-n2+9n（2分）
由-Sn+1=[（-n2+9n）-（n+2）2+9（n+2）+2（n+1）2-18（n+1）]=-1＜0
得＜Sn+1，适合条件①；
又Sn=-n2+9n=-+，所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②
综上，{Sn}∈W（4分）
（2）【解析】
因为bn+1-bn=5（n+1）-2n+1-5n+2n=5-2n
所以当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；
当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7
所以M≥7（8分）
（3）【解析】
假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立
由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck+1≤ck-1
因为≤ck+1，所以ck+2≤2ck+1-ck≤2（ck-1）-ck=ck--2
由ck+2≤2ck+1-ck及ck＞ck+1，得ck+2＜2ck+2-ck+1=ck+1，故ck+2≤ck+1-1
因为≤ck+2，所以ck+3≤2ck+2-ck+1≤2（ck+1-1）-ck+1=ck+1-2≤ck-3
依此类推，可得ck+m≤ck-m（m∈N*）
设ck=p（p∈N*），则当m=p时，有ck+p≤ck-p=0
这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立．（16分）