Question

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=sin（a_n）（n∈N^*）．
证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer

先看当n=1时，可求得a2，则可验证结论成立；假设n=k时结论成立，根据0＜ak＜ak+1＜1，推断出0＜ak＜ak+1＜．
进而可知0＜sin（ak）＜sin（ak+1）＜1，即0＜ak+1＜ak+2＜1，结论成立，最后综合可知原式成立．
证明：①n=1时，a1=，
a2=sin（a1）=sin=．
∴0＜a1＜a2＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜ak＜ak+1＜1，
则0＜ak＜ak+1＜．
∴0＜sin（ak）＜sin（ak+1）＜1，
即0＜ak+1＜ak+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N*均有0＜an＜an+1＜1．