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高中数学试题
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若数列{an}(n∈N*)满足:(1)an≥0;(2)an-2an+1+an+2...
若数列{a
n
}(n∈N
*
)满足:(1)a
n
≥0;(2)a
n
-2a
n+1
+a
n+2
≥0;
(3)a
1
+a
2
+…+a
n
≤1,则称数列{a
n
}为“和谐”数列.
(Ⅰ)验证数列{a
n
},{b
n
},其中
,
是否为“和谐”数列;
(Ⅱ)若数列{a
n
}为“和谐”数列,证明:
.
本题考查的是演绎推理,要判断一个数列是否是“和谐”数列,关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义. (1)中要判断数列{an}(或{bn})是否为和谐数列,则要判断①an≥0(或bn≥0)②an-2an+1+an+2≥0(或bn-2bn+1+bn+2≥0)③a1+a2+…+an≤1(或b1+b2+…+bn≤1)三个条件,如果全部符合,则为“和谐数列”对于(2)直接证明有难度,可以使用反证法来证明,即若若an-an+1≥0不恒成立,则数列{an}不为“和谐”数列,这与已知相矛盾,从而得到结论恒成立. 【解析】 (Ⅰ)数列{an}为“和谐”数列;数列{bn}不是“和谐”数列. 数列{an}显然符合(1) 因为所以符合(2) 因为,所以符合(3) 所以数列{an}为“和谐”数列. 对于数列{bn},有bn>0, 所以数列{bn}不满足(3),因此数列{bn}不是“和谐”数列. (Ⅱ)反证法:若an-an+1≥0不恒成立,即存在自然数k,ak-ak+1<0,ak+1>ak, 由(2)可知,ak+2-ak+1≥ak+1-ak>0,得ak+2>ak+1, 依此类推当n≥k时,{an}递增,与对任意n,与a1+a2++an≤1矛盾, 所以an-an+1≥0 构造数列{bn},令bn=an-an+1 由(2)可知an-an+1≥an+1-an+2,∴bn≥bn+1,a1+a2++an=a1+(-a2+2a2)+(-2a3+3a3)++[-(n-1)an+nan]≥a1+(-a2+2a2)+(-2a3+3a3)++[-(n-1)an+nan]-nan+1 =(a1-a2)+2(a2-a3)++n(an-an+1)=b1+2b2++nbn≥(1+2++n)bn =, 由(3)知 得: 即:,所以
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考点分析:
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.
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试题属性
题型:解答题
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