Question

如图，，现将△ADC沿DC边折起，使二面角A-DC-B的大小为60°，此时直线AB与平面BCD所成角的正弦值为    ．

Answer

先作出A在面BDC上的投影，再作出二面角B-CD-A的平面角，由二面角的大小已知可求得点A到面BDC的距离，再求出线段AB的长度，进而可得线面角的正弦值．
【解析】
如图，作AF⊥面BDC于F，过F作FE⊥CD延长线于E，连接AE，由作图知AF⊥CD，
由线面垂直的判定定理知CD⊥面AEF，所以CD⊥AE，故∠AEF即二面角A-CD-B的平面角，故∠AEF=60°，
又∠ADC=150°，故∠ADE=30°，由AD=1，可得AE=，DE=
∴EF=AE×cos60°=×=，
AF=AEsin=×=
过B作BM⊥CD延长线于M，由∠BDC=120°得∠BDM=60°
又BD=，故BM=，DM=，故M与E重合，
所以B，F，E，三点共线，则BF=-=
所以AB==
由上知∠ABF即线段AB与面BCD所成的角
sin∠ABF===
故应填