Question

已知函数f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；
（II）若不等式≤e²对任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

Answer

（I）这是一个一般的函数，所以用导数法，即证明函数f（x）在区间（0，1）上的导数恒小于零．
（II）先将不等式≤e2对任意的n∈N*都成立，两边取自然对数，转化为，恒成立，再用导数法求最小值即可．
【解析】
（I）（1分）
设g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）

函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．（4分）
（II）不等式等价于不等式
由知，，（5分）
设，（6分）
（7分）
设h（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0
∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．
∴（11分）
故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=
即，
∴a的最大值为（12分）