Question

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

Answer

我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn当n=2时成立，再假设不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn也成立，最后得证不等式．
证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．