Question

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，B在第一象限，．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线（a＞0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；
（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．

Answer

（1）先设直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由及B在第一象限求解．
（2）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：，再由韦达定理求解．
（3）先设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），根据两点间的距离公式建立二次函数模型，，
记（1≤t≤4），再根据对称轴和区间的相对位置，分类讨论求解．
【解析】
（1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），
由及x＞0，y＞0得x=4，y=1，点B的坐标为（4，1）．
（2）由得，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则，得a=2．

（3）设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），，
记（1≤t≤4），
当时，即-1≤t≤5时，，
当，即t＞5时，f（x）在[1，4]上单调递减，；
当，即t＜-1时，f（x）在[1，4]上单调递增，．
综上所述，