Question

已知函数时，则下列结论不正确是     ．
（1）∀x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
（3）∀x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

Answer

（1）中，由函数解析式，结合函数奇偶性的性质，易得函数为奇函数，根据函数奇偶性的定义可判断其真假；
（2）中，由函数的解析式我们易得函数在R上单调递增且值域为（-1，1），则函数y=|f（x）|的值为（0，1），由此可判断（2）的正误；
（3）中由（2）中函数单调性的结论，易判断（3）的对错；
（4）中，当k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象仅有一个交点，由此易得（4）的真假．
【解析】
（1）、∵函数为奇函数
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正确；
（2）、∵函数的在R上单调递增，且值域为（-1，1）
∴函数y=|f（x）|在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，1）
∴∀m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
（3）、∵函数的在R上单调递增，
∴x1≠x2⇔f（x1）≠f（x2），故（3）正确；
（4）、∀k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有一个交点
∴∀k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）-kx有且只有一个零点
故（4）错误．
故答案：（4）