Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x_l=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（1）写出x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式（n≥3）；
（2）设a_n=x_n+1-x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明．

Answer

（1）根据题意，An是线段An-2An-1的中点，可得xn与xn-1、xn-2之间的关系式，
（2）由题意知a1=a，a2=-a，a3=a，由此推测：an=（-）n-1a（n∈N*）再进行证明．
【解析】
（1）根据题意，An是线段An-2An-1的中点，则有
当n≥3时，xn=．
（2）a1=x2-x1=a，a2=x3-x2=-x2=-（x2-x1）=-a，
a3=x4-x3=-x3=-（x3-x2）=-（-a）=a，
由此推测：an=（-）n-1a（n∈N*）．
证明如下：因为a1=a＞0，且an=xn+1-xn=-xn=
=-（xn-xn-1）
=-an-1（n≥2），
所以an=（-）n-1a．